양자우물과 에너지 양자화 및 양자수

양자 우물 내에서 에너지 양자화

  전자가 원자 내에서 존재할 확률이 100%인 가상적인 경계를 설정하여, 이를 quantum well(양자 우물)이라 할 경우, 양자 우물은 양쪽의 장벽이 있는 조건이 되고, 장벽이 있는 조건 속에서 전자가 운동을 하게 되면, 파동함수를 그리며, 이때의 파동함수는 사인파 함수가 된다. 양쪽에 노드가 있는 줄에 에너지를 가하여 운동시키면 줄이 사인 곡선을 그리는 형태이다.

  슈뢰딩거방정식은 시간에 독립적이다. 그러나 전자의 상태를 확률적으로 구하기 위하여, 전자가 움직이는 원자 범위 이내로 조건을 한정하여 제한하였고, 원자 내에 갇혀 있는 전자는 밖으로 빠져나갈 수 없으므로, 이해하기 쉽도록 선형 형태로 개념화하여 가정하였다. 따라서 원자 내의 환경은 한정되고 밀폐된 공간이므로 원자 내의 전자는 양자 우물의 환경과 같다고 볼 수 있고, 고유의 에너지값을 가진다. 이는 반대 관점으로 표현하자면, 양자 우물의 크기는 원자 내의 전자들의 에너지에 비례하여 결정된다고 볼 수 있다.

  상태함수와 잠재 에너지는 반비례 관계에 있다. 가정된 양자 우물 밖에서는 잠재 에너지는 무한대이므로 상태함수는 "0", 즉 전자가 존재할 확률이 없고, 반대로 양자 우물 안에서는 잠재 에너지가 "0"이므로 전자가 존재할 확률이 100%가 된다. 이때의 파동방정식은 사인파와 코사인파의 합으로 도출될 수 있다.

  원자 내의 전자가 어디에 위치하는지는 명확하게 측정할 수는 없지만, 원자 내의 전자에 의한 에너지의 합은 사인파를 그리며 quantization 화 된다. 이는 원자 내의 전자가 quantized 된 에너지에 의하여 원자 내에서 확률적으로 전자껍질이란 층층의 레벨에 분포하면서 타원운동을 하는 근거가 된다. 에너지 불변의 법칙에 따라 전체 에너지는 같으므로, 양자 우물의 길이가 커질수록 에너지 레벨은 낮아지고, 그에 따라 에너지 레벨과 에너지 레벨 간의 간격 또한 좁아진다. 반대로 양자 우물의 길이가 좁아질수록 총에너지가 불변이므로 에너지 레벨이 높아지면서 동시에 에너지 레벨과 레벨 간의 차이 또한 넓어져서 에너지의 quantization이 커진다.

  정리하면, 에너지는 더는 나누어질 수 없는 최소한의 덩어리로 이루어져 있으며, 에너지가 존재하는 곳에 전자가 분포해 있을 확률이 높고, 에너지 레벨의 특성을 파악하면 원자 내에서 전자가 존재해 있는 위치를 확률적으로 파악할 수 있다. 그에 따라 원자 내에 양자화 개념에 따른 양자수가 유도된다.

 

 

<원자와 오비탈>

 

 

에너지 양자화와 양자수

  반도체는 원자들이 격자구조를 갖춘 배열의 연속으로서 각각 원자들 속에 있는 전자와 관련된 에너지에 대하여 알아보고, 실질적으로 고체의 원자 배열은 3차원이므로 3차원에서의 에너지가 양자화되는 상태에 대해 알아보는 것이 중요하다.

  1개의 양자수를 갖고서도 전자껍질 개념만으로 에너지의 quantization을 설명할 수 있지만, 슈뢰딩거방정식을 실질적인 원자 모델로 대입하여 풀면, 3개의 양자화 수가 도출된다. 이들 3개의 양자수를 각각 주양자수, 방위 양자수, 자기 양자수라고 한다. 양자수는 전자가 원자핵을 도는 궤도 모양, 즉 공간모형을 결정짓기 때문에 3개의 양자수로 전자가 어떤 상태인지를 추정해낼 수 있다. 실질적으로 오비탈의 모양은 주양자수와 방위 양자수 및 자기 양자수로 결정된다. 주양자수가 메인 오비탈의 크기를 결정한다면, 방위 양자수와 자기 양자수는 주양자수가 결정해준 크기 내에서 서브 오비탈과 서브-서브 오비탈의 모양을 결정한다. 여기서 오비탈이라는 의미는 전자가 궤도 상의 궤적을 따라서만 정확하게 돈다는 의미가 아니라, 확률적으로 해당 오비탈에 존재할 가능성이 크다는 의미이다.

 

  즉, 파동방정식을 해석하여 3차원 공간상에서 전자를 발견할 확률분포를 그려낸 궤도가 원자 오비탈이다. 상기 3개의 양자수 이외에 오비탈의 모형과는 상관이 없지만, 전자가 스핀을 하고, 이 스핀으로 인한 전자 상태가 달라지는 양자수로서 스핀양자수가 하나 더 있다. 스핀양자수는 전자의 스핀에 따른 각운동량의 크기를 나타내는데, 이로 인하여 중요한 배타원리가 발견되었고, 이를 통하여 에너지 밴드 개념이 마무리되면서 최종적으로 정립되었다.