상태밀도와 상태밀도함수에 대한 설명

상태밀도와 캐리어 분포

 

  DOS(Density of States)는 상태밀도를 의미하는데, 전자나 정공인 캐리어가 반도체 내에 존재하는 양자화 상태의 미시적 개념으로서, 단위 체적 및 단위 에너지 영역 내에서 양자역학적 입자들의 에너지 상태의 수를 의미한다. 에너지 레벨에 대한 상태밀도를 구하는 궁극적인 목적은 페르미 확률함수와 결합하여 조건 및 위치가 주어졌을 때, 캐리어의 개체 수를 확률적으로 계산하기 위함이다. 캐리어 개체 수를 알아내면 회로에 흐르는 전류를 추정할 수 있다. 설계된 전류의 최솟값을 달성하기 위하여, 기본 물질에 얼마의 농도로 Doping하고, Junction에 얼마의 전압을 인가하여, 드레인에 얼마의 전류를 흘려서 회로를 동작시킬 것인지의 소자적 조건들과 그로 인한 결과를 가늠할 수 있기 때문이다.

  캐리어는 N-Type과 P-Type의 잉여전자와 잉여정공을 의미하는데, 미시세계 기준에서의 캐리어 개체 수를 계산해야 한다는 데 있다. 거시적 세계에서는 일반적으로 밀도에 전체 면적 혹은 전체 체적을 곱해서 알갱이 수를 센다. 예를 들어, 평방미터당 몇 명의 사람이 존재하는가의 밀도를 알면, 사전에 계산된 전체 면적으로 밀도를 곱하면 총 인원수가 간단히 나온다. 체적의 경우도 같은 방식이다. 그런데 미시세계에서는 단위 체적당 알갱이 수를 셀 수 없으므로 대신 농도를 구한다. 농도는 거시적 개념의 밀도에 비하여 오차 범위가 커질 수 있지만, 현재 적용할 수 있는 index는 농도보다 적합한 것이 마땅히 없는 것이다.

  유효농도는 실질적인 캐리어의 개체 수에 영향을 끼치는 농도를 말한다. 유효농도 값은, 같은 전자 혹은 같은 정공이라도 N-Type과 P-Type 반도체에 따라서, 에너지 밴드에 따라서도 다르게 나타난다. 즉, 유효농도는 일률적인 절대 농도가 아니라 상황과 변수에 따라서 상대적으로 적용되는 농도이다. 유효농도는 먼저 캐리어가 존재할 site가 확보되어야 하고, 확보된 site 내에서 캐리어가 존재해야 한다. 조재할 site라는 것은 거시적인 개념이고, 미시적 개념은 캐리어의 상태이며 이는 상태밀도함수로 구한다. 캐리어가 존재한다는 것은 미시적으로는 확인하기 불가능하므로 존재의 확률을 구해서 유추하여야 하고, 그런 확률이 외부변수에 따라서 연동되어 변하므로, 이를 확률함수로 구현한 것이 페르미 확률함수이다. 확률함수의 독립변수는 측정 가능하고 컨트롤이 가능한 변수로 에너지를 사용하였다. 독립변수를 확률함수에 input 하면 존재의 확률이 얼마나 되는지 쉽게 계산된다. 캐리어의 상태밀도함수의 독립변수도 컨트롤 가능한 변수이어야 하고, 캐리어에 직접적인 영향을 끼치는 index이어야 하므로 분포의 확률함수와 마찬가지로 에너지가 적당하다. 따라서 상태밀도를 확률함수로 곱하면 캐리어가 존재하는 유효농도가 계산된다.

 

 

 

<함수 식의 예시>

 

상태의 수와 상태밀도함수

 

  밀도의 개념을 도입하여, 부피와 에너지에 대한 단위 공간과 단위 에너지 내에서 미시세계에서의 상태의 수를 상태밀도로 정의하였다. 에너지 범위에서도 영역을 무한대의 에너지 영역으로 할 수 없으므로 단위 에너지 영역으로 한정하고, area도 임의의 단위 공간 내로 한정한다면 에너지 레벨 상태를 밀도개념으로 나타낼 수 있다. 총 상태의 수도, 상태밀도가 구해지면 상태밀도에, 구하고자 하는 공간과 구하고자 하는 에너지 레벨 area를 곱해주면, 해당하는 area와 해당하는 에너지 구간에서의 상태 총수를 구할 수 있다. 에너지가 높아지면 비례하여 상태가 많아지므로 상태 수가 증가한다. 상태 수의 증가는, 곧 캐리어가 존재할 수 있는 에너지 레벨 수의 증가로 판단할 수 있다.

  물체가 존재하려면, 먼저 물체가 존재할 수 있는 장소가 있어야 하듯이, 미시적인 경우에서도 단위 면적당의 밀도처럼 cubic 내에서 상태의 밀도를 계산한다. 상태밀도는 모든 에너지 영역, 공간 영역에서 일정한 함수관계를 유지하므로 이를 에너지와 함수 관계를 갖는 식으로 나타낼 수 있다. 측정할 수 없는 미시의 세계에서는 입자가 있을 어떠한 상태로서 추정해내어야 하며, 상태밀도를 계산해내는 index로는 에너지를 매개체로 했다. 광장에 모여있는 사람이 많아질수록 밀도도 올라가고 에너지가 높아지듯이, 에너지가 크면 상태의 밀도가 높다는 것으로, 복잡한 계산을 거쳐 상태밀도함수는 에너지의 제곱근에 비례하는 것으로 추정해내었다. 에너지가 크면 에너지 제곱근에 비례하여 캐리어도 여러 가지 상태를 만들어 낼 수 있다는 것이다. 상태 밀도에 관련된 캐리어로는 전자나 정공이 있고, 전자와 정공의 부호는 반대이다. 미시적인 자연현상은 거시적인 도형처럼 질서정연한 순서와 모양을 따르지 않는다. 상태의 함수를 매우 복잡하고 공식화하기 난해하지만 많은 부분을 간소화하여 표현한다.